de Sitter Welt

In einigen Diskussionen mit Albert Einstein kam Willem de Sitter zu der Überzeugung, dass der Energie-Impuls-Tensor keinen Einfluss auf die Struktur des Weltalls hat. Er strich diesen Tensor und den Ricci Skalar, der nur zur Anpassung zwischen Ricci Tensor und Energie-Impuls-Tensor dient, aus den Feldgleichungen.

1917 bestimmte de Sitter sein Model des Weltalls aus den abgeänderten Feldgleichungen

In Analogie zum Linienelement von Schwarzschild setzt man

(1)

(2)

Im sphärischen Koordinatensystem ist die Rechnung weniger umständlich als in den Systemen, die Schwarzschild in seiner bahnbrechenden Arbeit benutzte.

Aus dem Ansatz (2) folgt

Die Christoffelsymbole Γ_μν^α und Γ_μα^α sind

Mit Γ₀₀¹ und Γ₁₀⁰ wird R₀₀ berechnet

R₀₀ wird mit Λ⋅g₀₀ gleichgesetzt.

Die einfache Differentialgleichung für f(r) hat die allgemeine Lösung

Das Ergebnis lässt verschiedene de-Sitter-Welten zu.

Eine spezielle Lösung mit a=0, b=1 und Λ>0 ist

Hier ist Λ=1/R² gesetzt

(8)

Für r=R ist das Linienelement singulär, es gibt aus dem Innenraum mit r<R keine Geodäte hinaus, diese de-Sitter-Welt hat einen kosmologischen Horizont. Das gleicht dem Inneren eines Schwarzen Lochs, aus dem ebenfalls nichts, weder Masse noch Energie, kein Licht und keine Information den Ereignishorizont nach auserhalb durchdringen kann.

Wenn für ein Schwarzes Loch dieselbe Beziehung zwischen Radius R und Volumen V gilt wie für eine Kugel in der euklidischen Geometrie, dann gibt es eine eindeutige Beziehung zwischen der Masse M, dem Radius R und der mittleren Dichte ρ eines Schwarzens Lochs.

Danach kann die Masse M eines Schwarzen Lochs nach folgender Formel aus seiner Dichte ρ berechnet werden.

(9)

(10)

(11)

(12)

Einige Beispiele

ρ_KG ist die Dichte eines Quark-Gluon Plasmas.

ρ_HH ist die Dichte in der Photosphäre der Sonne.

ρ_K ist die mittlere Massendichte des Kosmos.

Für die Schwarzschild-Radien gilt

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

M_KG ist etwa die dreifache Sonnenmasse, der Radius R_KG knapp 1km. Das entspricht dem kleinsten bekannten Schwarzen Loch.//Bei der Temperatur T=5700K hat das Wasserstoff-Helium-Plasma in der Photosphäre der Sonne die Dichte ρ_HH. Das ist die Dichte wie zu Beginn der Rekombinationsära in der Urknalltheorie.// Die Masse M_K weicht nicht von der geschätzten (sichtbaren) Masse des Kosmos ab (Wikipedia: ≈ 10⁵³kg). Für den Radius des Kosmos gibt Wikipedia an
>45 Milliarden Lj=4,3⋅10²⁶m, also etwa das Doppelte von R_K=2,31⋅10²⁶m.

Aus den Gleichungen (9) folgt

Mit der Konstanten β gilt

Das eingesetzt in Gleichung (8) ergibt

(18)

(19)

Es ist unmöglich, von einem Standpunkt außerhalb eines Schwarzen Lochs irgendwelche Informationen über dessen Inneres zu gewinnen, und auch wenn von außerhalb dort eine mathematische Singularität festgestellt wird, sagt das nichts für das Innere aus. Das Innere eines Schwarzen Lochs ist schlicht eine andere Welt und die einfachste Annahme für diese andere Welt ist der Mathematik zum trotz, dass dort die gleiche Physik gilt wie anderswo.

Die spezielle de-Sitter-Welt mit dem Linienelement (19), im folgenden kurz Kosmos genannt, ist ein Schwarzes Loch. Hier soll angenommen werden, dass der Kosmos in einem größeren Universum als stellares Schwarzes Loch etwa mit der Masse M_KG (13) entstanden ist und dann ständig mehr oder weniger Masse aus diesem Universum aufnimmt. Die zeitliche Entwicklung des Kosmos durchläuft ab einer Quark-Gluon-Phase die gleichen Zustände, die auch in der Urknalltheorie angenommen werden, sie ist aber nicht bestimmt durch eine extrapolierte Hubble-Zeit, sondern hängt ab von der unregelmäßigen Aufnahme von Massen aus dem umfassenden Universum. Damit verbunden ist nach den Gleichungen (9) eine Verringerung der Dichte und Vergrößerung des Volumens. Der Kosmos expandiert, die Wellen der elektromagnetischen Strahlung, die im frühen Kosmos dessen Hauptteil ausmacht, werden auseinander gezogen, sodass die Strahlung an Energie verliert. Da Strahlung und Massen noch im thermischen Gleichgewicht stehen, sinkt die Temperatur des Kosmos. Bei 5700K ist die Masse des Kosmos auf eine halbe Billion Sonnenmassen (14b) angewachsen und der Radius auf den Zehnten Teil eines Lichtjahres (17b). Der Kosmos nimmt mehr Masse auf, die Dichte wird geringer, die Expansion geht weiter und die Temperatur fällt bis bei etwa 3000K Masse und Strahlung entkoppeln. Die Masse des Kosmos besteht nun aus neutralen Atomen (und Dunkler Materie) und die Strahlung überdauert als Hintergrundstrahlung ungestört, aber ständig langwelliger werdend die Jahrmilliarden.

Wenn die Punkte einer Messreihe erkennbar auf oder nahe einer glatten Kurve liegen, ist es immer möglich, mit einigen Parametern die Kurve als analytische Funktion darzustellen. Für das CMB Temperatur Spektrum der Planck Collaboration gelingt das mit sechs Parametern, denen dann auf der Grundlage der ΛCDM Theorie bestimmte Bedeutungen zugewiesen werden. Darüber schreiben die Autoren selbst: "many of the ingredients of the model remain highly mysterious from a fundamental physics point of view". Besonders mysteriös ist die Dunkle Energie, die 68% des Kosmos ausmachen soll, ohne dass es eine Vorstellung davon gibt, woraus diese Dunkle Energie bestehen könnte. Der Ausgangspunkt der Urknalltheorie, das Auseinanderdriften der Galaxien, verlangt eine Erklärung, wird aber mit der unerklärbaren Dunklen Energie nur ins Reich der Mysterien verschoben. From a fundamental physics point of view gibt es eine andere Erklärung:

Der Kosmos als Schwarzes Loch im Universum hat einen Drehimpuls. Wenn er neue Masse aufnimmt, wird der Horizont erweitert und die Zentrifugalkraft drückt Masse in Richtung des neuen Horizonts. Der Kosmos wird ein Stück weiter aufgebläht und die Entfernungen zwischen den Galaxien werden größer.

scripsit tanu
am 15. Juni des Jahres 2024