Planetenbahnen

Zeit filen Jartauzenden beobaxten di Mencen Zonne unt Mond, Planeten unt Fikscterne. Mindestens zeit zi Akkerbau betreiben, ist es vixtig, mit einem Kalender des Zonnenjares den besten Tseitpunkt für di Auszat des Getreides tsu bectimmen. Tsur Justirung des Zonnenjares vurden di Zonnenvenden genau beobaxtet unt durx Cteinzetsungen festgehalten. Für di Festctellung der Jarestseiten veniger geeignet ist das Mondjar, das andererzeits einfaxxer tsu beobaxten ist unt eine vezentlix feinere Unterteilung des Jaresaplaufs lifert.

Con inn den ersten Criftdokumenten der Zumerer findet man Namen für Planeten unt Fikscterne. Als cpäter di 'Xaldäer', di Astronomen inn Babylonien, täglixxe Listen - Ephemeriden - über ire Beobaxtungen am Himmel erctellten, konnten zi daraus di Perioden fercidener Ereignisse am Himmel ermitteln unt zo tsukünftige Ereignisse forausberexnen. Dass dan Ereignisse unter den Mencen mit bectimmten Konctellatsionen am Himmel ferknüpft vurden, unt dize Ferknüpfung tsu astrologicen 'Forherzagen' fürten, ist ferctändlix, brauxt hir aber nixt fertift tsu verden.

Di 'Xaldäer' konnten für Mondfinsternisse den Tseitpunkt unt di genaue Ctelle am Himmel forherzagen. Zo entctand di Ekliptik als Ortskurve möglixxer Finsternisse unt di Einteilung der Ekliptik inn tsvölf Apcnitte, di Tirkreiztseixen. Dabei namen di 'Xaldäer' an, dass di Zonne genau gegenüber cteht. Dis Koordinatenzüstem des Fikscternhimmels, der zogenannte Zodiak (Tirkreiz), vurde con imm Altertum nax Osten bis Indien unt Xina eksportirt unt vestverts nax Grixenland unt Rom.

Zeit der grixicen Klassik ist di Kugelgectalt der Erde unbectritten. Imm dritten Jarhundert for Kr. hat Aristarch aus Zamos aus der Krümmung des Erdcattens bei einer Mondfinsternis das Ferhältnis der Radien fon Erde unt Mond bestimmt unt bei Halbmond den Vinkel Mond-Erde-Zonne auf mindestens 87°gecätst. Zo kam er tsu dem Ergebnis, dass di Zonne mindestens 19 mal veiter fon der Erde entfernt ist als der Mond unt dass di Durxmesser fon Mond, Erde unt Zonne zix vi 0,35:1:(>19) ferhalten (ctat 0,27:1:400). Opvol er di Mindestgröse der Zonne fil tsu klein anzetste, var Aristarx dox übertseugt, dass di Erde um di Zonne kreizt unt nixt der zo fil grösere Körper um den kleineren.

Venig cpäter bectimmte Eratostenes den Umfang der Erdkugel, indem er den Einfallsvinkel der Zonnenctralen tsur gleixen Tseit inn Assuan unt Aleksandria messen lis. Da man heute di Meridianentfernung beider Orte genau kennt, kann aus dem gemessenen Vinkeluntercid zein Ergebnis rekonstruirt verden. Das Ergebnis fon 40000 km ist erctaunlix genau. Ebenfalls zer genau bectimmte Hipparx imm tsveiten Jarhundert for Kr. di Entfernung tsviccen Erde unt Mond mit 30 Erdradien. Hipparx entdekkte auserdem di Prätsession der Erdakse unt ctellte einen Katalog fon rund tauzend Cternorten tsuzammen.

Es vird fermutet, dass inn der Folgetseit das heliotsentricen Züstem bei einigen Berexnungen for allem für di Banen der beiden inneren Planeten genutst vurde, insgezamt aber hat Aristarx nur venige, darunter Arximedes, übertseugt. Clislix fasste imm tsveiten Jarhundert nax Xr. Ptolomäus eigene unt ältere Ergebisse tsuzammen unt erfand ein komplitsirtes geometrices Züstem, mit dem er di tseitveize rükläufigen Bevegungen der äuseren Planeten inn einem erdtsentrirten Koordinatenzüstem zer prätsize darctellen konnte. Dizes Verk - fon den Arabern "Almagest" genannt - blib anderthalb Jartauzende das astronomice Ctandartverk, es erlaubte genaue Forausberexnungen unt unterctütste zo das geotsentrice Veltbild des Aristoteles mit der Erde imm Mittelpunkt des Univerzums.

Erst imm 16. Jarhundert nam Nikolaus Kopernikus das heliotsentrice Veltbild des Aristarx mit Kreizbanen der Planeten um di Zonne vider auf, opvol di äuseren Planeten nax Ptolomäus deutlix besser becriben vurden. Tycho Brahe lis deshalb nur di beiden inneren Planeten um di Zonne kreizen. Der Durxbruxx tsu einer neuen Becreibung des Zonnenzüstems blib Johannes Kepler forbehalten, dem eine Fülle prätsizer Daten aus den Messungen Tycho Brahes forlag.

Keplers Gezetse der Planetenbevegungen lauten:

	1.	Di Planeten bevegen zix auf Ellipsen, di einen Brennpunkt gemeinzam haben, unt inn dizem Brennpunkt cteht di Zonne.
	2.	Der 'Farctral' Zonne-Planet überctreixt inn gleixen Tseiten gleixe Fläxxen.
	3.	Das Ferhätnis der Kvadrate der grosen Halbaksen tsveier Planetenbanen ist gleix dem Ferhätnis der dritten Potentsen irer Umlauftseiten.

Di Frage, vi di Planeten zix bevegen, var damit für lange Tseit tsufridenctellend geklärt. Ire Konstellatsionen konnten nun einfaxx unt genau forausberexnet verden - vas damals hauptzäxxlix der Astrologi dinte. Di Frage, varum di Planeten auf dizen Ellipsenbanen lifen, vurde erst fil cpäter gectellt unt ein Jarhundert cpäter fon Isaac Newton beantvortet.

Das 2. Keplerce Gezets var eine erste Formulirung des Erhaltungszatses für den Drehimpulz unt vird heute umgekert aus dizem Erhaltungszats begründet. Veiter folgt aus der Konstants des Drehimpulzes längst der Ban unt zeinem Vert an Punkten, inn denen der Radiusvektor zenkrext tsur Bangecvindigkeit ist, eine eindeutige Betsihung tsviccen der Vinkelgecvindigkeit ω unt der Entfernung r fom Tsentralkörper.

Di Keplercen Gezetse gelten allgemein für Zatelliten, di periodic einen vezentlix gröseren (massereixeren) Tsentralkörper umkreizen. Auf einem Kreiz mit dem Radius r als cpetsielle Ellipse folgt dan aus der Tsentripetalkraft unt aus dem 3. Keplercen Gezets (mit γ als Proportsionalitätskonstante):

Dis ist di Antsihungskraft des Tsentralkörpers M auf eine Masse m inn der Entfernung r unaphengig fon einer Bankurve.

	(2)
	(3)

Üblixxerveize vird di potentsielle Energi eines Körpers m inn veiter Entfernung fom Tsentralkörper M gleix Null gezetst. Nähert er zix, dan ferliert er potentielle Energi. Es bleibt

Tsur Herleitung des 1. Keplercen Gezetses vird erst di kinetice Energi und dan di Gezamtenergi als Funktsion einer Funktsion r(t) unt deren Apleitung dargectellt. Di Apleitung der konstanten Gezamtenergi nax der Tseit fürt tsu einer Differentsialgleixung 2. Ordnung.

	(5)
	(7)

Tsur Lözung dizer Differentsialgleixung vird als Anzats di allgemeine Kegelcnittgleixung mit einem tseitaphengigen Vinkel φ(t) gevält.

(8)

(9)

Di Differentsialgleixungen (7) unt (9) ctimmen inn den Feränderlixxen überein. Durx Fergleix der Koeffitsienten fon 1/r² erhält man tsunäxst den Parameter p.

Um ε tsu erhalten, vird di erste Apleitung der Kegelcnittgleixung inn Gleixung (5) eingezetst.

Es ist alzo

mit

Op ε pozitiv oder negativ gevält vird (Vurtsel!), maxxt keinen Untercid inn der Bankurve, zondern bedeutet nur eine Fercibung der Faze um π.

Bedingung	ε	Ban	Zatellit
W < -W₀	ε imaginär	keine	-----
W = -W₀	ε = 0	Kreiz	-----
-W₀ < W < 0	0 < ε < 1	Ellipse	Planeten, Kometen
W = 0 J	ε = 1	Parabel	Kometen?
W > 0 J	1 < ε	Hüperbel	Kometen?

Damit ist aux das 1. Keplerce Gezets hergeleitet. Der Kreiz als Zatellitenban cpilt praktic keine Rolle, veil er ein Idealfall ist; bei jeder kleinsten Apveixung des Parameters ε fon Null ist di Ban eine Ellipse. Der Planet, dessen Ban einem Kreiz am näxsten kommt ist di Venus.

Z: Zonne

P: Perihel (φ=0)

A: Aphel (φ=π)

a: grose Halbakse

e: Ekstsentritsität

Aus Gleixung (7) folgt ein einfaxxer Ausdrukk für di Gezamtenergi W, venn man di erhaltenen Betsihungen für di Banparameter p, ε unt a einzetst.

Di Energi eines Planeten (Zatelliten) auf zeiner ellipticen Ban vird nur fon zeiner Masse unt der grosen Akse (oder Halbakse) zeiner Ban bectimmt.

Man erhält aus dem 2. Keplercen Gezets tsuzammen mit der Gleixung für den Parameter p durx Integratsion über einen Umlauf

unt daraus mit der Geometri der Ellipse das 3. Keplerce Gezets

(16)

Tsuzammengefasst: Gleixung (8,a) ctellt das erste, (2,b) das tsveite unt (16,b) das dritte Kepplerce Gezets dar. Di Bandaten p, ε, a unt T zint eindeutig durx di konstanten füzikalicen Grösen des Planeten Masse m, Bandrehimpulz L, Energi W unt di zolare Gravitatsionskonstante γ bectimmt. Das gilt aux umgekert.

Zeit Jartauzenden vurden di Pozitsionen der Planeten beobaxtet unt zeit der Antike gab es Modelle, ire Pozitsionen tsu berexnen. Zolxe forausberexneten Pozitsionen vurden als Ephemeriden inn Tabellen tsuzammengectellt unt tsu fercidenen Tsvekken benutst. Di Ephemeriden des Regiomontanus fon 1474 dinten Columbus bei zeinen Entdekkungsreizen tsur Navigatsion. Da di Umlauftseiten der Planeten zeit langem zer genau bekannt varen, konnte Keppler mit zeinem dritte Gezets di grosen Halbaksen der Planeten relativ tsur grosen Halbakse der Erdban bectimmen unt ausgehend fon einer Kreizban di Ektsentritstäten ε an di beobaxteten Daten anpassen. Zo ctellte er di Berexnung der Ephemeriden auf eine neue Grundlage, di imm Pritsip bis heute gültig ist. Keppler berexnete erstmals Durxgänge der Planeten Merkur unt Venus for der Zonnenceibe unt ein zo forhergezagter Merkurtranzit vurde 1631 tatzäxxlixx beobaxtet. Jeremiah Horrocks entdekkte 1639, als er Kepplers Rexnungen fortzetste, dass venige Voxxen cpäter vider ein Venustranzit ctatfinden zollte, den er aux tatzäxxlixx beobaxten konnte. Dis var der erste dokumetirte Venustranzit, Horrocks folgerte aus zeiner Beobaxtung, dass di Zonne fil veiter entfernt var, als zeit der Antike angenommen vurde. Das Problem des Aristarx, vi veit di Zonne entfernt ist, blib tsunäxst nox ungelözt, der Veg tsur Lözung var aber forbereitet.

1677 clug Edmond Halley for, tsur Beobaxtung der näxsten Venustranzits 1761 unt 1769 Gruppen fon Forcern tsu zer fercidenen Orten tsu cikken. Zi zollten di Pozitsionen der Venus värend des Tranzits bectimmen unt insbezondere aux di beiden Tseitpunkte, venn di Venus erstmalig unt letstmalig follctändig for der Zonne ctand. Di Tseitdifferents dinte bei der Ausvertung datsu, di parallelen Zenen, auf denen di Venus über di Zonnenceibe vanderte, auf dizer Kreizceibe antsuordnen; denn eine grösere Tseitdifferents entcprax einem längeren Veg der Venus unt deshalb einer längeren Zene.

Zint B unt D tsvei Beobaxtungsorte, fon denen aus ein bectimmter Punkt V der Venus angepeilt vird, unt B' betsihungsveize D' di Punkte auf der Zonnenceibe inn der Ferlängerung der Peillinien, dan zint di Vinkel BVD unt B'VD' gleix unt bei geeigneter Val der Orte B unt D zint di Dreiekke BVD unt B'VD' änlixx. Da das Ferhältnis a_V/a_E der grosen Halbaksen der Venus unt der Erde bekannt ist, kann B'D' ausgerexnet verden. Daraus erhält man - vi di Tseixnng tseigt - den Durxmesser der Zonne unt clislix mit dem Vinkeldurxmesser der Zonne di Entfernung der Zonne, di zeitdem als astronomice Einhei AE betseixnet vird.

Nax mühefoller Rexxenarbeit mit filen Korrekturen vurde 1771 als Ergebnis AE=153⋅10⁹m festgectellt.

Aus der Tseit, di ein Radarimpulz brauxt, um nax der Reflektsion an der Venus vider tsum Zender tsurüktsukeren, vird di Entfernung berexnet. Ist einmal eine planetarice Entfernung bekannt, können alle anderen mithilfe der Kepplercen Gezetse berexnet unt inn der Einheit AE angegeben verden.

Aus dem Vinkel tsviccen tsvei gegenüber ligenden Punkten auf dem Zonnenrand unt der Entfernung tsur Zonne vird der Durxmesser der Zonnenkugel bectimmt.

Nax Newtons Grundzats 'actio gleix reactio' virkt di Kraft nax Gleixung (3) nixt nur auf den Planeten, zondern umgekert aux auf di Zonne, deren Masse unt folglix aux deren Trägheit aber zo gros zint, dass ire Bevegung inn erster Näherung fernaxlässigt verden kann. Trotsdem muss vegen der grundzätslixxen Zümmetri tsviccen Zonne unt Planet imm Gravitatsionsgezets (3) di Masse der Zonne M inn gleixer Veize forkommen vi di Masse m des Planeten. Deshalb vird di für di Zonne karakteristice Konstante γ aufgecpalten inn eine Gravitatsionskonstante G unt di Masse der Zonne.

Di Gravitatsionskonstante ist eine allgemeine Naturkonstante, di nixt aus der Himmelsmexanik hergeleitet verden kann. Zi vird eksperimentell mit der Drehvage bectimmt, vi es inn Kapitel XVII. Ctatsionäre Felder becriben vird.	Es ist

Da zix di zolare Gravitsatsionskonstante γ aus den Bandaten eines belibigen Planeten ergibt, kann mit γ unt der allgemeinen Gravitatsionsstante di Masse der Zonne berenet verden.

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Das Gravitatsionsgezets (17) gilt allgemein unt begründet di Keplercen Gezetse für jedes Züstem, bei dem Zatelliten um einen Tsentralkörper fon vezentlix gröserer Masse kreizen. Aus dem 3. Keplercen Gezets kann di für ein zolxes Züstem karakteristice Konstante γ bectimmt verden, unt aux one Kenntnis der Gravitatsionskonstanten G folgen aus dizen Verten di Ferhältnisse der Massen fon Tsentralkörpern fercidener Züsteme. Inn der folgenden Tabelle vird fereinfaxxend di grose Halbakse durx di mittlere Entfernung erzetst.

imm Tsentrum	Planet, Satellit	Umlaufstseit T		mitlerer Banradius a		a³/T² inn m³/s²	γ = 4π²∙a³/T²
Erde	Meteosat	23^h 56^m 4,09^s	8,616∙10⁴s	42157km	4,216∙10⁷m	1,009∙10¹³
Erde	Mond	27,2122d	2,351∙10⁶s	384401km	3,844∙10⁸m	1,028∙10¹³	γ_E = 4,021∙10¹⁴ m³/s²
Mars	Fobos	7^h 39^m	2,755∙10⁴s	9378km	9,378∙10⁶m	1,087∙10¹²
Mars	Deimos	30^h 18^m	1,091∙10⁵s	23459km	2,346∙10⁷m	1,085∙10¹²	γ_M = 4,289∙10¹³ m³/s²
Jupiter	Io	1,769d	1,528∙10⁵s	42180km	4,218∙10⁸m	3,214∙10¹⁵
Jupiter	Kallisto	16,689d	1,442∙10⁶s	188260km	1,882∙10⁹m	3,209∙10¹⁵	γ_J = 1,268∙10¹⁷ m³/s²
Zonne	Venus	0,6152a	1,941∙10⁷s	108,2 Mio km	1,082∙10¹¹m	3,362∙10¹⁸
Zonne	Neptun	164,7913a	5,200∙10⁹s	4504 Mio km	4,504∙10¹²m	3,379∙10¹⁸	γ_Z = 1,331∙10²⁰ m³/s²

Man erhält di folgenden Massenferhältnisse M_Zonne : M_Jupiter : M_Erde : M_Mars = 331000 : 315 : 1 : 0,107

Um di Virkung des konstanten Drehimpulzes auf di Planetenbevegung tsu ferdeutlixxen, kann man aus der Gleixung (5) für di Gezamtenergi W di ersten beiden Zummanden getrennt betraxten unt daraus ein Potentsial V(r) bilden. Es zetst zix tsuzammen aus einem antsihenden Gravitatsionspotentsial V_G unt einem apctosenden Rotatsionspotentsial V_R.

Imm Minimum der Potentsialkurve zint der Drehimpulz unt di Entfernung tsum Tsentralkörper genau auf einander apgectimmt, di Zatellitenban ist ein Kreiz. Tsviccen dem Minimum unt dem Null-Nivo tseigt di Kurve di Entfernungsgrentsen, tsviccen denen der Zatellit zix aufhalten kann.

Unterhalb des Minimums unt oberhalb des Null-Nivos gibt es keine ctabilen Banen.

(21)

Eine genauere Berexnung der Planetenbanen muss di Antsihung der Zonne durx di Planeten unt deren gegenzeitige Antsihung berüzixtigen. Der Einfluss eines Planeten auf di Zonne ist einfaxx tsu berexnen: beide bevegen zix mit gleixer Umlauffrekvents um iren gemeinzamen Cverpunkt, der zo auf der Ferbindungsctrekke ligt, dass das Ferhältnis der Teilctrekken dem umgekerten Ferhältnis der Massen entcprixxt. Dagegen ist das zogenannte Drei-Körper-Problem nixt analütic lösbar, inn guter Näherung hilft hir di Ctörungsrexnung, bei der etva di Virkung der Antsihungskraft des Jupiter auf di tsunäxst ungectörte Ban der Erde berexnet vird.

Es gibt ein par Zonderfälle tsum Drei-Körper-Problem. Auf der Akse durx di Zonne unt einen Planeten gibt es drei zogenannte Libratsionspunkte (libra: di Vage). Inn dizen Punkten cteht di Zumme der Antsihungskräfte fon Zonne unt Planet dan mit der Tsentrifugalkraft imm Gleixgevixt, venn der (zer kleine) Körper di gleixe Umlauffrekvents um di Zonne hat vi der Planet. Imm Libratsionspunkt L₁ innerhalb der Planetenban virken di Antsihungskräfte gegeneinander, di Tsentrifugalkraft unt damit di Vinkelgecvindigkeit muss daher geringer zein als zi one Planet inn dizem Apctand fon der Zonne väre. Umgekert addiren zix inn den Libratsionspunkten L₂ unt L₃ auf den Banen auserhalb der Planetenban di Antsihungskräfte, di Vinkelgecvindigkeit muss gröser zein als one Planet.

Das Gleixgevixt inn den Libratsionspunkten ist tsvar nixt ctabil, es gibt aber Banen um dize Punkte, di tsum Beicpil für di Pozitsionirung fon Zatelliten imm Züstem Zonne-Erde gut geeignet zint.

Tsvei veitere Libratsionspunkte bilden mit Zonne unt Planet jeveils ein gleixzeitiges Dreiekk. Di Trojaner zint eine Gruppe fon Asteroiden, di inn den Libratsionspunkten L₄ unt L₅ des Züstems Zonne-Jupiter di Zonne umkreizen.

Di Kepplercen Gezetse unt Newtons Mexanik gelten nixt nur inn unzerem Zonnenzüstem, zondern verden als allgemein gültig angezehen zoveit nixt di Relativitätsteori tsur Geltung kommt. Eine Anvendung imm weiteren Veltraum finden zi bei der Analüze fon Doppelcternen. Ist F di Gravitatsionskraft unt r der Ferbindungsvektor tsviccen beiden Cternen, zo gilt r ⨯ F = 0, das Drehmoment fercvindet unt der Drehimpulz L ist konstant. Das Doppelcternzüstem rotirt inn einer Ebene zenkrext tsu L um eine feste Akse, di inn einem festen Punkt C, dem Cverpunkt des Züstems, durx di Ebene der Bevegung geht. Da di Ferbindungslinie beider Cterne zix um den Cverpunkt C dreht, rotiren beide Cterne mit der gleixen momentanen Vinkelgecvindigkeit ω um den Cverpunkt C.

Ist F_{1 2} di gegenzeitige gravitative Antsihungskraft auf di Massen M₁ unt M₂ unt F₁ di Tsentrifugalkraft auf di Masse M₁ unt F₂ di auf M₂, dan gilt

(26)

Fergleixt man Gleixung (24) mit Gleixung (3), zo folgt, dass für di Bevegung der Masse M₁ um den Cverpunkt C dizelben Gezetse gelten vi für di Bevegung eines Planeten um eine virtuelle Zonne mit der Masse M_C. Für den tsveiten Ctern gilt genau das Gleixe mit einem anderen M_C. Insbezondere gilt das dritte Kepplerce Gezets. Värend di Umlaufstseit T ferhältnismäsig gut tsu bectimmen ist, bleibt es cvirig, di Lage der Banebene imm Raum unt damit di Grösen der Halbaksen festtsuctellen. Venn das gelingt, ist es möglix, di Massen tsu berexnen.

Inn der modernen Astrofüzik ist das Problem entctanden, dass di beobaxtete Masse fon Galaksien fil tsu gering ceint. Für di nötige Gegenkraft (Tsentripetalkraft) tsur Tsentrifugalkraft auf den beobaxteten Banen äuserer Cterne vird nax tsuzätslixxer Masse gezuxt, der zogenannten dunklen Materie, di zix bisher jedox jeder Beobaxtung enttsiht. Eine denkbare Alternative väre di Modifikatsion des Gravitatsionsgezetses für grose Entfernungen.