Anhang T: Tenzoren der Raumtseit Kontravariants unt Kovariants Inn der nixteuklidicen firdimenzionalen Raumtseit ist es nixt möglix, ein überall geltendes Koordinatenzüstem eintsurixten. Ctatdessen gibt es lokal gültige Koordinatenzüsteme - etva K unt K' -, tsviccen denen lokal gültige lineare Transformatsionen möglix zint. Dan kann man creiben | (2) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Nax der Einsteincen Konventsion vird über einen Indeks, der inn einem Produkt tsveimal forkommt, zummirt, das Zummentseixen fällt fort. Inn den Gleixungen (2)
ctellen di A Firervektoren dar. Ein Beicpil zint di Firervektoren (ct,x)=(x0,
| (6) (7) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Gleixung (6) tseigt di Koordinatentransformatsion eines kontravarianten Firervektors, Gleixung (7) di eines kovarianten Firervektors. Imm tsveiten Fall müssen inn den
Zummengleixungen di xi durx -xi erzetst verden (mit i=1,2,3). Tenzoren höheren Ranges Eine 4x4-Matriks, deren Komponenten Funktsionen der xμ zint, ctellt einen Tenzor tsveiten Ranges dar, venn gilt
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Di Gleixungen (2) unt (4) tseigen, dass Firervektoren Tenzoren ersten Ranges zint. Ziht man Konstante als Tenzoren nullten Ranges an, dan können alle füzikalice
Grösen als Tenzoren ferctanden verden. Aus (4) ist erzixtlix, velxen Transformatsionsbedingungen aux Tenzoren höheren Ranges genügen müssen.
Inn der Raumtseit zint Tenzoren mit maksimal fir Inditses möglix, der höxste Rang ist fir. Innerhalb dizer Begrentsung ist jede Antsal fon oberen Inditses unt unteren Inditses möglix. Das (innere) Produkt tsveier Tenzoren gleixen Ranges ist ein invarianter Skalar, venn jeder hoxgectellte Indeks eines Faktors gleix einem tifgectellter Indeks des anderen Faktors ist.
Zümmetri unt Antizümmetri Zümmetric ist ein kovarianter Tenzor, venn inn allen lokalen Koordinatenzüstemen für jedes Indekspar μ, ν di Komponenten Aμν unt Aνμ gleix zint. Das ist allerdings con der Fall, venn es inn einem cpetsiellen Koordinatenzüstem gilt. | (11) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Matritsen unt Tenzoren Xρσ zei eine 4x4-Matriks, fon der nixt bekannt ist, op zi einen Tenzor darctellt. Veiter zoll AρBσXρσ für belibige Firervektoren Aρ unt Bσ ein Skalar zein, der zix invariant gegenüber Koordinatentransformatsionen ferhält.
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Das Fercvinden der Klammer bedeutet, dass di 4x4-Matriks Xρσ ein kovarianter Tenzor tsveiten Grades ist. Van immer das Produkt einer 4x4-Matriks mit tsvei belibigen Firervektoren oder einem belibigen Tenzor tsveiten Grades einen invarianten Skalar ergibt, tseigt ein analoger Beveiz, dass di Matriks einen Tenzor tsveiten Grades darctellt. Op das Ergebnis kovariant, gemicct oder kontravariant ist, hengt nur dafon ap, vi di Inditses inn den urcprünglixxen Tenzoren oder Firervektoren ctehen. Für σ=τ ist δστ gleix 1 unt zonst gleix 0. Daszelbe gilt für δστ, nur vird δστ als 4x4-Matriks gecriben, ist alzo di 4x4-Einheitsmatriks. Für belibige Firervektoren Aσ, Bτ gilt
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Venn dizes Produkt einen invarianten Skalar ergibt, dan zint di aτυ di Komponenten eines kontravarianten Tenzors
Aτυ=Aρσ.
Produkte fon Tenzoren Es gibt eine Filtsal untercidlixxer Multiplikatsionen tsviccen Tenzoren, immer vird jeder Komponent des ersten Faktors mit jedem Komponenten des tsveiten Faktors multiplitsirt. Das Ergebnis ist ctets vider ein Tenzor, venn - vi oben becriben - Firervektoren als Tenzoren 1. Grades unt Konstanten als Tenzoren 0. Grades angezehen verden. Jede Tsal fon 0 bis 4 kann der Grad des Ergebnisses zein. Das zollen einige Beicpile tseigen. Venn der Grad des Ergebnisses geringer ist als der höxste Grad der Faktoren, dan cprixxt man fon der Ferjüngung dizes Faktors; das Ergebnis ist jedenfalls ein Tenzor.
Ist umgekert Aμν ein kovarianter Tenzor tsveiten Grades, Cρ ein kovarianter Firervektor unt ist Aμν=Bμνρ Cρ, dan gilt
Apleitung unt Erveiterung
Tsur Einfügung des Christoffel Zümbols zihe Gleixung (35) imm Anhang V: Geodätice Linie. Vider ist der letste Faktor belibig, di Klammer alzo ein Tenzor.
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Tsu einem belibigen Firervektor Fμ verden tsvei invariante Funktionen φ unt ψ zo konstruirt, dass Fμ dem Firervektor Dμ entcprixxt. Inn einem fest gevälten lokalen Koordinatenzüstem verden fir (Nummerirung inn Klammern) Funktsionen φ(α)=xα unt veitere fir Funktsionen ψ(α)=Fα konstruirt. Apleitung der Funktsionen φ(α) unt Zummirung der entcprexxenden Produkte fürt tsu
Krümmungstenzoren Es ist das Tsil der folgenden Rexnung, einen Tenzor tsu konstruiren nur aus Christoffel Zümbolen Γ unt deren Apleitungen, zodas dize Betsihung der Γs unaphängig fom lokalen Betsugszüstem vird. | (30) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Hir zint tsvei Arten fon Umbenennungen erlaubt, di den Tenzor nixt ändern. Vegen Γijk=Γjik dürfen bei den
Christoffel Zümbolen di unteren Inditses fertauct verden unt doppelte Inditses inn einem Produkt, über die summiert wird, dürfen gemeisam umbenannt verden, nur nixt
inn einen Indeks, der inn dizem Produkt con forkommt.
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Di nixteuklidice Geometrie vurde insbezondere fon Bernhard Riemann Mitte des 19. Jarhundert entvikkelt. Di euklidice Geometri ist flaxx, zi hat keine Raumkrümmung, vi zi auf der anderen Zeite für di nixteuklidice Geometri karakteristic ist. Das drükkt zix inn den Christoffel Zümbolen aus. Wenn dize alle fercvinden, ist di Geometri flaxx, ist nur eins dizer Zümbole ungleix Null, zo ist der Raum gekrümmt. Velxe Art Raumkrümmung inn der füzikalicen Raumtseit gilt, op dafür der folle Riemannce Krümmungstenzor Bμνσρ gilt oder eine Cpetsializirung fon Gleixung (35) angebraxt ist, kann nur mit füzikalicen Gründen entciden verden. Eine einfaxxe Cpetsializirung ist di innere Ferjüngung, um aus dem Tenzor 4. Grades einen Tenzor 2. Grades tsu gevinnen.
Veil Γστσ ein Tenzor 1.Grades, alzo ein Firervektor ist, kann Sμν fereinfaxxt verden. Es gilt mit Umbenennungen imm Ergebnis
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Tsurük tsu Kapitel XXXI. Gekrümmte Raumtseit |