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XXXI. Gekrümmte Raumtseit
Porträ (bearbeitet)
Fundctelle


Auf einer cnell rotierenden Kreisceibe vird mit gleixartigen Masctäben der Radius r unt der Umfang U des Kreizes gemessen. Ist v di Bangecvindigkeit auf dem Umfang, dan ist der Masctab dort um den Faktor γ mit γ2=1-v2/c2 ferkürtst, värend der Masctab tsur Bectimmung des Radius keine Lorentzkontraktsion erfärt. Das Ergebnis der Messung U/r ist gröser als 2π, di euklidice Geometri gilt nixt mer in der relativisticen Raumtseit. Di matematicen Grundlagen einer nixteuklidicen Geometri hat con Mitte des 19. Jarhunderts Bernhard Riemann gelegt, dize Geometri vurde später fon Ricci unt anderen veiter entvikkelt. Um Riemanns Geometri nutsen tsu können, vandte zix Albert Einstein an zeinen Freund, den Matematiker Marcel Grossmann, der zo entceidend mitarbeitete bei der Entvikklung der Allgemeinen Relativitätsteori (ART).

Bei einer Zonnenfinsternis (Eddington 1919) können Cterne beobaxtet verden, di nax klassicer Astronomi hinter der Zonne ctehen. Das Lixt vird tsur Zonne hin apgelenkt. Das "Einsteinkreuts" tseigt eine massereixe Galaksis, di das Lixt eines dahinter ligende Kvazars zo aplenkt, dasS vir in firmal zehen. Dize Aplenkung des Lixts durx Gravitatsion maxxt es unmöglix, inn der Raumtseit eine gerade Linie entcprexxend der euklidicen Geometri füzikalic tsu definiren. Inn der nichteuklidicen Geometri trit di geodätice Linie an di Ctelle der Geraden unt nax dem Fermatcen Printsip nimt der Veg des Lixtes tsviccen tsvei Punkten XA unt XB der firdimenzionalen Raumtseit ein Minimum an, di Variatsion des raumtseitlixxen Lixtveges S fercvindet. Das bedeutet, der Lixtveg ist eine geodätice Linie inn der firdimenzionalen Raumtseit.
Fundctelle







Für di Raumtseit hat Minkowski das Linienelement ds mit ds2=c2⋅dt2-x2αβ⋅dxαdxβ definirt. Hir unt imm folgenden vird di Einsteince Zummenkonventsion angevendet unt grixice Inditses laufen ctets fon 0 bis 3. Mit dem metricen Tenzor gαβ ctatt μαβ erhält man

Das vird eingezetst inn (1)
(1)








(2)


Di gαβ bilden eine 4x4-Matriks Erzetst man gαβ durx μαβ, zo erhält man
(3)




Damit di Ferformung der Raumtseit durx Gravitatsionsfelder dargectellt verden kann, muss der metrice Tenzor gαβ zix fom Tenzor μαβ der cpetsiellen Relativitätsteori unterceiden unt ortsaphengig zein. Das clist ein, dass der Untercid tsviccen gαβ unt μαβ inn veiten Gebiten der Raumtseit gering ist oder azümptotic fercvindet. Dize Nähe tsviccen beiden Tenzoren vird durx einige Annamen gezixxert, di der cpetsiellen Relativitätsteori entcprexxen:

a) di gαβ zint reelle Funktsionen der xα
b) gαβgαβ ist di 4X4-Einheitsmatriks E
c) di Determinante gαβ ist g=-1, alzo eine Konstante
d) venn bei einer Koordinatentransformatsionen aαβ tsviccen lokalen Züstemen |aαβ|=±1 gilt, bleibt Anname c) erhalten
(4)



Füzikalice Grösen, di zix mit dem Ort inn der Raumtseit ändern, zint Invariante, vekseln aber ire Darctellung je nax dem, inn velxem Betsugszüstem zi dargectellt verden. Di fercidenen Darctellungen gehen bei Koordinatentransformatsionen inn einander über, vobei dize Transformatsionen eine matematice Gruppe bilden, zodas di Darctellung inn jedem Züstem eindeutig ist. Um inn der nixteuklidicen Geometri Naturgezetse tsu becreiben, reixen Vektoren unt Firervektoren nixt aus, dafür zint Tenzoren nötig. Matematice Grundlagen tsur Rexnung mit Tenzoren zint becriben inn Anhang T: Tenzoren der Raumtseit. Dort vird insbezondere imm Apcnitt Matritsen unt Tenzoren getseigt, dass di Matriks G einen kovarianten Tenzor darctellt unt vi der tsugehörige kontravariante Tenzor tsu bilden ist.


Di Euler-Lagrange-Gleixungen für di Variatsion (2), alzo di Bedingungen für eine geodätice Linie zint hergeleitet imm Anhang V: Geodätice Linie.


Inn anderer Formulirung: mitunt
(5)



(6)


Durx die Christoffel Zümbole Γ vird di Virkung einer Raumkrümmung auf di Geodäten dargectellt.

Nax zeiner Relativitätsteori vird di Gravitatsion inn der Raumtseit Einsteins hauptzäxxlixxes Arbeitsfeld. 1908 creibt er inn einem Artikel über gravitative Rotfercibung unt drei Jare cpäter über Lixtaplenkung durx eine Masse. Inn einem Artikel, den er 1913 gemeinzam mit Marcel Grossmann feröffentlixt, creibt er, es zei zein Tsil, Poisson's Gleixung Δφ=4πρ durx eine Gleixung der Form κ⋅Θμνμν tsu ferallgemeinern. Inn dizer Gleixung ist κ eine Konstante, Θμν der Energi-Impulz-Tenzor (heute meist Tμν gecriben) unt Γμν ein nox tsu bestimmender Tenzor tsveiter Ordnung vi Θμν, der durx Differentsialoperationen aus dem metricen Tenzor gμν tsu bilden zei unt dessen Divergents vi di fon Θμν fercvinden müsse. Inn dizem Artikel zint alle Betsihungen fon (1) bis (6) ervänt, nixt aber irgend ein Krümmungstenzor. Als Einstein cpäter beginnt, den Riemanncen Krümmungstenzor tsu analüziren, ctellt er fest, dass di Rexnungen vezentlix einfaxxer verden, venn di Determinante des metricen Tenzors gαβ gleix der Deteminante μαβ der Minkowski Raumtseit ist. Unter dizer Bedingung ist aux gevärleistet, dass imm Vakuum mit gröser verdender Entfernung fon jeder Masse ein glatter Übergang fon gαβ tsu μαβ ctatfindet. Einstein ctellt für Räume one Materie di "einfache Regel" auf, "daß √-g=1" zein zoll, unt dize Regel fürt datsu, dass imm ferjüngten Riemanncen Krümmungtenzor Bσμνσ di Hälfte der Zummanden fortfällt. Di fraglixxen Tenzoren zint (zihe
Krümmungstenzoren)

mitunt

Der Ricci Tenzor Rμν vird nixt vi gefordert divergentsfrei zein. Aber imm Vakuum, vo der Energi-Impulz-Tenzor fercvindet, cpilt das keine Rolle.

Einsteins Feldgleixungen für das Vakuum zint
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Als Mitte des 19. Jarhunderts geklärt var, velxen Einfluss di gegenzeitige Massenantsihung der Planeten auf ire Banen hat, blib als unerklärter Rest eine Periheldrehung inn der Ban des Merkur. Mit der Gleixung Rμν=0 berexnete Einstein 1915 näherungsveize di Raumkrümmung in der Umgebung der Zonne unt tseigte, dass dize Raumkrümmung di Urzaxxe für di Periheldrehung der Merkurban unt für eine Lixtaplenkung am Zonnenrand fon 1,75 Bogenzekunden ist. Bezonders di Bectätigung der Lixtaplenkung durx eine Ekspeditsion tsur Zonnenfinsternis 1919 maxxte Einstein tsu einer veltberümten Perzönlixkeit. Venige Monate nax Einsteins Näherungsrechnung fand Schwarzschild mit der Schwarzshild-Metrik eine eksakte Lözung der Gleixung (8) unt berexnete di genauen Verte für di Periheldrehung unt di Lixtaplenkung (zihe Kapitel XXXII Metriken der Raumtseit). Durx den Erfolg der Vakuumlözungen var bevizen, dass der Ricci Tenzor di Raumkrümmung inn der Umgebung einer Masse rixtig becreibt. Um aus dem Ricci Tenzor einen divergentsfreien Tenzor tsu bilden, fand Grossmann mithilfe der Bianchi-Identität di geeignete Ergäntsung, zodas nun der Einstein Tenzor Gμν dem Energi-Impulz-Tenzor Tμν (zihe Kapitel XXIII Raumt-Teit) mit einem konstanten Faktor κ gleixgezetst verden konnte.

mit dem Ricci Skalar
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Der Riemannce Krümmungstenzor Bρμνσ gilt für Räume belibiger Dimenzion, durx di Cpetsializirung Bρμνσ=Bμν entcteht ein Tenzor, der durx eine 4X4-Matriks dargestellt verden kann unt damit für firdimenzionale Räume gilt. Di Becneidung des Riemann Tenzors Bμν auf den Ricci Tenzor Rμν ändert daran nixts unt zo ist Rμν der einfaxxste Tenzor, mit dem di Raumtseit becriben verden kann. Tsu dizen Tenzoren kann jeveils durx Kontraktsion ein Skalar gebildet verden, der di Ctärke der Krümmung beschreibt. Väre der Ricci Skalar gleix Null, dann väre di Raumtseit flaxx. Ctatt di Differents tsviccen Rμν unt κTμν mit dem Ricci Skalar austsugleixen, kann dis aux mit einem aus dem Energi-Impulz-Tenzor gevonnenen Skalar gecehen.



Man kann annemen, dass der metrice Tenzor mit geringen Apveiungen diagonal ist unt di Apveixungen der Diagonalelemente fon der Eins gering zint unt zix gegenzeitig ausgleixen; denn di Determinante zoll gleix -1 zein. Dan vird di Zumme der Kvadrate gleix 4. Bei der Kontraktsion mit σ=ν entcteht
Eingezetst inn Gleixung (9) ergibt eine tsveite Form der Feldgleixung mit
(11)


Di Konstante κ kann mithilfe eines belibigen Beicpils betimmt verden. Di Kvelle des tseitlix kaum feränderlixxen Becleunigundsfeldes inn der Zonne unt irer Umgebung ist deren Energidixte w=ρ⋅c2. Lässt man tseitlixxe Änderungen beizeite, dan ist T=w=ρ⋅c2 unt es gilt δgμν/δx0≈0

Mit i=1,2,3 folgt unt
(12)

Der Parameter s vird inn Gleixung (6) für di geodätice Linie durx di Tseit t erzetst.
Mit α=i unt vegen gii≈1 entcteht eine Vektorgleixung Das Becleunigungsfeld vird durx den Gradienten fon g00 bectimmt.
(13)



(14)


Veiter gilt

Inn der Zonne unt inn irer Umgebung ist di Apveixung fon der euklidicen Geometri gering. Di Christoffelzümbole, di dize Apveixung becreiben, zint inn der Zonnenumgebung daher kleine Grösen unt Produkte tsveier Christoffelzümbole nox kleiner. Dagegen können Apleitungen nax den xi, insbezondere di tsveite Apleitung grösere Verte annemen. Damit gilt für R00 näherungsveize:

unt mit Gleixung (12a) folgt

Integratsion über di Zonnenkugel lifert M und V zint Masse unt Volumen der Zonne.

Imm letsten Integral vird über di Oberfläxxe O einer belibige Kugel mit dem Radius r gröser als der Zonnenradius integrirt. Vegen der Kugelzümmetri zint Gradient unt Fläxxenelement dA parallel unt der Betrag des Gradienten auf der Kugel konstant. Mit Gleixung (14) erhält man:

mit dem ErgebnisDas ctimmt mit dem Newtoncen Gravitatsiongezets überein.

Der Fergleix ergibtunt


Für den veiten Veltraum fügte Einstein nox eine kosmologice Konstante Λ hintsu

(20)



Di Gecixte der kosmologicen Konstante Λ ist zer vekselhaft. Tseitveize vurde zi gectrixxen, dan vider eingezetst unt ebenzo vekselhaft var ire Bedeutung. Heute cpilt zi vider eine grose Rolle bei dem Ferzux, mit Gleixung (20) di tseitlixxe Entvikklung des Kosmos tsu becreiben.


Als di ART entctand, gab es für eine Überprüfung nur di Periheldrehung des Merkur unt di Lixtaplenkung am Zonnenrand. Di ART vurde veiter entvikkelt, es gab aber lange nixts Neues, auf das die Teori angevendet verden konnte. Erst inn neuerer Tseit haben di Beobaxtungen fon Cvartsen Löxxern unt fon Gravitatsionvellen eindeutig bectätigt, dass di ART Raum unt Tseit rixtig als gekrümmte Raumtseit becreibt.



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