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XXXII. Metriken der Raumtseit
Porträ (bearbeitet)
Fundctelle


Con 1915, venige Monate naxdem Albert Einstein di Feldgleixungen der ART aufgectellt unt mit einer Näherungslözung di Periheldrehung der Merkurban erklärt hatte, fand Karl Schwarzschild als eksakte Lözung fon Rμν=0 di Schwarzschild-Metrik gμν mit gμνgμν=E. Nax Kapitel XXXI. Gekrümmte Raumtseit gilt für Vakuum
(8)(6)(2)
(0)


Di Masse des Merkur ist gegenüber der Masse der Zonne fernaxlässigbar, zeine Gecvindigkeit ist gering gegenüber der Lixtgecvindigkeit unt zeine Ban bleibt inn einer Ebene. Di Zonne cteht ctill unt ir Mittelpunkt fällt mit dem Urcprung aller folgende Koordinatenzüstem tsuzammen. Es gilt x0=c∙t, g0i=gi0=0 für i=1,2,3 unt der räumlixxe Teil der Gleixung (0/2) kann inn kartezicen Koordinaten gecriben verden. Das zint di Forauszetsungen, mit denen Karl Schwarzschild con im Jare 1915 eine eksakte Lözung für di Periheldrehung des Merkur gelang. Inn zeinem Anzats für das Linienelement einer Ban inn der Umgebung der Zonne gab es drei Funktsionen der Koordinaten, di tsu bectimmen varen.

(1)

Di Matriks für di Transformatsion fom Züstem {x,y,z} tsum Züstem {r,φ,θ} hat di Determinante R=r²sinθ

Di Matriks für di Transformatsion fom Züstem {x₁,x₂,x₃} tsum Züstem {r,φ,θ} hat di Determinante S=-r²sinθ
(2)




(3)




(4)


Di Matriks für di Transformatsion fom Züstem {x,y,z} tsum Züstem {x₁,x₂,x₃} hat di Determinante R⋅S-1=-1. Damit, unt veil di Tseit nixt transformirt vird, bleiben di Bedingung für gαβ erfüllt unt di Gleixungen (0) ungeändert gültig. Inn dizem bezonderen, fon Schwartzschild gevälten sfäricen Züstem ist der metrice Tenzor diagonal unt, veil di Determinante fon gαβ gleix -1 ist, folgt

f₀⋅(-f₁)⋅(-f₂)⋅(-f₂)=-1
(5)


Aux venn Anderes möglix ist, kann man dafon ausgehen, dass di Zonne ein ctatices unt rotatsionszümmetrices Gravitatsionsfeld bezitst unt dass daran aux di Krümmung der Raumtseit nixts ändert. Zo lässt Schwartzschild con imm Anzats Glider der Form dt⋅dxi unberükzixtigt unt geht imm folgenden dafon aus, dass di gαβ nixt fon der Tseit, alzo nixt fon x0 aphengig zint. Auserdem zetst er foraus, dass di Vinkelaphengigkeit des Linienelementes con eksplitsit inn (4) enthalten ist, dass alzo f2 nixt fon x2 oder fon x3 aphengt. Zo maxxt di Berexnung der Christoffel Zümbole nax Gleixung (0/6) keine Cvirigkeit.

(6)














Christoffel Zümbole zint zümmetric bei Fertaucung der unteren Inditses, deshalb gibt es tsu den fir rexts ctehenden nox fir entcprexxende. Bei Zummen über Christoffel Zümbole fürt das oft tsu einer Ferdoppelung. Dafon apgezehen fercvinden alle übrigen. Es tseigt zix, dass tsur Bectimmung der Funktsionen fα inn Gleixung (4) eine Komponente des Ricci Tenzors ausreixt. Für di Berexnung fon R00 kommen nur di Chriatoffel Zümbole inn Tseile (6) inn Frage.

Damit giltunt veil nax Gleixung (0/8) R00=0 ist, folgt
Veil der metrice Tenzor gαβ nax Gleixung (4) diagonal unt gαβgαβ=E ist, gilt g00=f0-1 unt g11=f1-1. Es folgt
(10)



(11)


Mit der Zupstitutsiongeht (11) über innDi Lözung ist mit konstantem α.
Aus z=α⋅f0 folgtunt mit Gleixung (5)

Mit den Christoffel Zümbolen unt den Feldgleixungen können tsvar alle Funktsionen f über Differentsialgleixungen berexnet verden, es genügt aber, f2 tsu bectimmen. Imm flaxxen Minkowskiraum ist das Linienelement inn allen drei angevendeten Koordinatenzüstemen
(13)

Da di Vinkelaphengigkeit des Linienelementes durx di Raumkrümmung nixt beeinflusst verden zoll, ist f2 durx di Gleixungen (4) unt (13) bectimmt.

Dis ist einfaxx tsu integriren
Di Integratsionskonstanten β ist 1; denn venn x1 gegen unendlix geht, geht f0 gegen β=1. Es folgt
für
(16)



Di Integratsionskonstante α, di tsunäxst unbectimmt bleibt, hat di Dimenzion einer Länge, vird Schwartzschild-Radius genannt unt imm folgenden mit rS ctat mit α betseixnet. Naxdem mit Gleixung (16) di Lözung für das Linienelement der Geodäten inn der gekrümmten Raumtseit unter Beaxtung aller Bedingungen unt Annamen gefunden ist, kann es one zolxe Bedingungen inn ein geeignetes Koordinatenzüstem transformirt verden.


für
(18)



Es mag veniger umctändlix ceinen, den Anzats fon forneherein inn Kugelkoordinaten tsu formuliren. Dan väre es aber nötig, di Feldgleixungen (GR8) mit den Christoffel-Zümbolen, di keine Tenzoren zint, inn Kugelkoordinaten tsu transformiren. Der fon Schwartzschild gevälte Veg ist einfaxxer.



Ein Planet umrundet di Zonne inn einer festen Ebene, es kann θ=0 gezetst verden.
(19)



Vi con bei der allgemeinen Herleitung der geodäticen Linie imm gekrümmten Raum (Anhang V: Geodätice Linie) vird jetst für eine Ban s=s(τ) inn der durx di Masse der Zonne gekrümmten Raumtseit ein Minimum für ∫ds gezuxt. τ ist hir tsunäxst ein unbectimmter Parameter, der di Ban eindeutig becreibt.

1mit2
(20)



Da der Integrand di Integratsionsvariable τ nixt eksplitsit enthält, ist als Zonderfall der Euler-Lagrange-Gleixungen di Beltrami-Identit├Ąt nax Gleixung (14) imm Anhang Variatsionsrexnung di Lözung dizes Variatsionsproblems mit den Konstanten A, B unt F.

(21)




Es istA unt B verden inn (20) eingezetst
(22)



Venn ein Körper einer Geodäten folgt, ist zeine Eigentseit an jedem Ort der Geodäten eindeutig bectimmt unt umgekert ist di Eigentseit des Körpers der geeignete Parameter für di Becreibung der Geodäten. Für di Eigentseit τ an tsvei fercidenen Orten gilt ds2=c22. Um tsu tseigen, dass ein Planet vi Merkur auf einer Geodäten der durx di Masse der Zonne gekrümmten Raumtseit um di Zonne kreizt, substituirte Schwarzschild r durx u-1 unt erzetste ds2/dτ2 durx c2.






Jetst vird u nax der eintsigen unaphengigen Variablen φ differentsirt unt ctat des Differentsialkvotsienten der üblixxe Apleitungsctrixx ' gezetst.

(25)




ist ist Keplers Planetenban (umgeformt) aus Kapitel V Himmelsmexanik mit der DGl
(26)

Hir ist G di Gravitatsionskonstante, M di Masse der Zonne, m di Masse des Planeten unt L=mr2ω der Bandrehimpulz. Da di beobaxteten Banen fast aller Planeten eksakt Keplers Gleixung entcprexxen, ist der tsuzätslixxe Zummand inn (25) zer klein unt di Konstanten in (25) unt (26) zint gleix.

Vegen giltrS ist der Schwarzschildradius.
(27)




Um di Differentsialgleixung für u(φ) tsu lözen, vird der letste Zummand als Ctörung fon u0(φ) behandelt. Der Anzats ist: u(φ)=u0(φ)+u1(φ).


unt da u ≈ u0 ist, gilt
Für u1(φ) erhält man di Differentsialgleixungmit
(29)


Lözungsanzats






Dis ist di Lösung der Differentsialgleixung (29).


Für di 'gectörte' Ban des Merkur um di Zonne gilt
(31)



Daten der Zonne
unt der Merkurban
Schwarzschild-Radius der Zonne
Grose Halbakse a=57,9 ∙109
unt Ekstsentritsität ε=0,2056

Inn Gleixung (31) ist der Faktor rS/p for dem Ctörterm kleiner als 10-6, zodas der Einfluss der Raumkrümmung nur erkennbar werden kann, venn ein anderer Faktor gros genug vird. Di innere Klammer inn (31) kann nur Verte tsviccen 1 unt 2 annemen, dizer Term hat keine erkennbare Virkung unt vird veggelassen. Der Faktor φ imm restlixxen Ctörterm väkst mit jedem Umlauf des Merkur um 2π unt ferändert zo über längere Tseiträume di klassice Ellipsenban. Da das Produkt x=1,5φ∙rS/p über Jarhunderte aber dox klein genug bleibt, kann x durx sin(x) unt 1=cos(0) durx cos(x) erzetst verden.

mit
Aus cos(φ)cos(x)+sin(φ)sin(x)=cos(φ-x) folgtunt
(35)




Um nax einem Umlauf vider denzelben r-Vert tsu erreixen, felt imm Argument der Betrag Ist T di Periodendauer unt vird nax einer Tseit t vider derzelbe r-Vert erreicht, dan ist er fercoben um

Der Merkur brauxt 87,97 Tage für einen Umlauf.
Nax 100 Jaren ist zeine Perihelfercibung
oder


Als Albert Einstein dizen Vert für di Periheldrehung des Merkur mit zeiner Allgemeinen Relativitätsteori durx eine Näherungsrexnung bectimmt hatte, var er "einige Tage lang fassungslos vor freudiger Erregung". Er vusste, dass er damit Newtons Veltbild apgelözt hatte. Aber erst di Forauszage des Vertes der Lixtaplenkung durx di Masse der Zonne unt di - heute tsveifelhafte - Bectätigung dizes Vertes durx Beobaxtung der Zonnenfinsternis fon 1919 braxte Einsteins Allgemeiner Relativitätsteori veltveite Anerkennung.

Periheldrehung (links) unt gravitative Lixtaplenkung (rexts)
Fundctelle






Eine Tangente berürt einen Kreiz mit dem Radius R um den Mittelpunkt O inn einem Punkt Q. Eine Parallele tsur Tangente durx den Mittelpunkt O clist mit der Ctrekke fon O tsu einem Punkt P auf der Tangente den Vinkel φ ein. Der Vinkel OPQ ist gleix φ unt es gilt

Di Skitse tseigt einen Kvercnitt durx di Zonne mit einem tangentsial einfallenden Lixtctral. Inn Polarkoordinaten ist dis di Ebene mit θ=0 unt das Vegelement ist das gleixe vi forher inn Gleixung (19). r(φ) ctellt den ungectörten Lixtctral dar unt di Berexnung der Ctörung über den Kervert fon r(φ) ergibt di Aplenkung.


Di Gleixung (19) vird vider aufgenommen.

Imm Gegenzats tsu tseitartigen Forgängen gibt es für lixtartige keine Eigentseit τ, es kann nixt über dτ integrirt verden. Ctatdessen kann aber jeder Punkt auf dem raumtseitlixxe Lixtveg durx einen Parameter λ bectimmt verden (fergleixe Anhang V: Geodätice Linie). Damit bleibt di Rexnung fon Gleixung (20) bis Gleixung (25) aux für den Lixtveg gültig mit der Eincränkung, dass ctat der Lixtgecvindigkeit c eine unbekannte Konstante auf der linken Zeite fon Gleixung (25) eintsuzetsen ist. Das Ergebnis ist eine modifitsirte Gleixung (25).

Für r gegen gehen φ, u, u0, u" unt u0" gegen 0. Folglix ist C=0 unt für den Lixtveg gilt
(39)

Di Ctörung virkt über di ungectörte Ban.
Lözungsanzats




Inn veiter Entfernung fon der Zonne ist φ zer klein unt r zer gros (r>>R). Es gilt

Di Aplenkung ist zümmetric tsur Zonne, tsur Kvelle hin unt tsum Empfänger, zodas φ für di Gezamtaplenkung Δφ ferdoppelt verden muss.
Lixt vird am Rand der Zonne apgelenkt um den Vinkel

Da di Gravitatsion der Zonne nax Newtons Mexanik aux auf di Masse (hf/c2) des Fotons aplenkend virkt unt di Messergebnisse der zer geringen Lixtaplenkung bei Zonnenfinsternissen tsu ungenau varen, blib file Jartsente di Periheldrehung der eintsige Beveiz für di Rixtigkeit der Allgemeinen Relativitätsteori. Zeit 1970 kennt man nun tsvei punktförmige Radiokvellen (Kvazare), di jedes Jar am 8. Oktober zer nahe bei der Zonne ctehen. Da Radiovellen nixt durx das Zonnenlixt überctralt, aber genau zo apgelenkt verden, biten zi di beste Gelegenheit, Einsteins Forauszage tsu prüfen. Aus der Feränderung des Vinkels tsviccen beiden Radiokvellen vurde ein Vert für di Aplenkung ermittelt, der intsviccen bis auf venige Promille mit der Forauszage der Allgemeinen Relativitätsteori übereinctimmt.

Da imm Linienelement (18) für r gegen unendlix di Faktoren fon c2dt2 unt fon dr2 gegen eins gehen, vird eine Ur, di di Tseit t misst, unt der Längenmasctab für r inn veiter Entfernung nixt durx di Masse M beeinflusst. Im Gravitatsionsfeld der Masse M gibt es dagegen eine tsveite Tseit τ unt einen tsveiten Radius ρ.

Imm Gravitatsionfeld der Zonne gilt (Tseitdilatatsion) unt (Längenkontraktsion)

Veil ein Tseitintervall tsviccen tsvei Ereignissen nahe einer Masse geringer ist als es inn veiter Entfernung gemessen vird, ist di Frekvents fM fon Lixt nahe einer Masse gröser als di inn groser Entfernung beobaxtete Frekvents fb. Das beobaxtete Cpektrum ist tsum langvelligen Ende hin fercoben, dize gravitative Rotfercibung vurde 1911 fon Einstein vorhergezagt unt 1960 fon Pound unt Rebka eksperimentell imm Gravitatsionsfeld der Erde naxgevizen. Der Ferlust an potentsieller Energie des Fotons (Kapitel XXV Fotonen) kann di gemessene Rotfercibung alleine nixt erklären. Mit Atomuren, di jarelang inn Zatelliten di Erde (rS=0,009 m) umkreizen, vurde die gravitative Tseitdilatatsion eksakt bectätigt.
(46)



(47)



Con 1916 tseigte Hans Reissner, dass di Feldenergi einer elektricen Ladung Q vi eine negative Masse inn di Schwartzschild-Metrik eingeht. g00 unt g11 verden ergäntst, zonst ändert zix nixts an Gleixung (18).
Dize Reissner-Nordström-Metrik als tsveite Lösung der Einsteincen Feldgleixungen findet inn der Realität keine Anvendung, da eine elektrice Ladung bald durx entgegengezetste Ladungen ausgeglixxen vird.



1963 gelang Roy Kerr - einem Matematiker aus Neuseeland - eine veitere Lözung der Einsteincen Feldgleixungen mit einem tsunäxst unbekannten Parameter a.

(49)


Mit den Boyer-Lindquist-Koordinaten definirt durxunt der Apkürtsung

Für a=0 geht (49) über inn (18), di Schwartzschild-Metrik ist ein Cpetsialfall der Kerr-Metrik. Vi inn Gleixung (18) kann der Nenner fon grr aux inn der Kerr-Metrik fercvinden. Dann gilt für di Längenkontraktsion entcprexxend tsur Gleixung (47)

mitHir ist r1 eine Lözung der Gleixung
(51)



Für a=0 geht r1 über inn rS, Gleixung (51) über inn Gleixung (47). Für a>0 ist r1< rS, di gravitative Rotfercibung ist gröser als imm Falle a=0.

Imm Gegenzats tsur Schwartzschild-Metrik hat di Kerr-Metrik imm {t,r,θ,φ}-Züstem ein nixtfercvindendes Matrikselement g=gφt auserhalb der Diagonale.

Es ist
(52)


Creibt man für den letsten Zummanden gηη2, zo ist di η-Akse zenkrext tsur r-θ-Ebene. Das lokale rextvinklige Koordinatenzüstem {r,θ,η} rotirt um di z-Akse
mit der VinkelgecvindigkeitAm Ereignishoritsont ist
(53)


Venn di Bangecvindigkeit ω(r1)∙r1 am Ereignishoritsont kleiner zein muss als di Lixtgecvindigkeit, erhält man für a vider di Cranke
(54)


Ist r nur venig gröser als r1, dan vird dort der Raum nixt nur gekrümmt, zondern aux inn der Rotatsion mitgetsogen. Dizer Effekt des 'frame dragging' vurde 1918 fon Josef Lense unt Hans Thirring con aus der cpetsiellen Relativitätsteori apgeleitet. Venn ein Körper inn veiter Entfernung inn Ruhe ist, erfärt er tsunäxst eine Becleunigung allein inn Rixtung des Urcprungs r=0, vird dan aber mitgenommen fon der Rotatsion des Raumes. Aus veiter Entfernung gezehen, rotirt er imm Fallen immer cneller je näher r an r1 kommt.



Veil durx di Allgemeine Relativitätsteori der apzolute Raum nixt mer als Träger aller füzikalicen Forgänge inn Frage kam, zuxte Einstein nax einem neuen Modell für das Veltall. Dabei blib das Machce Printsip, vonax di Urzaxxe der Trägheit eines Körpers inn der Gezamtmasse des Veltalls ligt, zeine ständige Leitide. 1916 reizte Einstein nax Leiden, wo Füziker der Univerzität mit grosem Interesse Einsteins Arbeiten ferfolgten. Hir traf er den Astronomen Willem de Sitter, mit dem er zix danax jarelang über ein Modell des Veltalls austaucte. de Sitter lente das Machce Printsip als eine rein filozofice Ide ap unt entvikkelte ein Modell, inn dem der Energi-Impulz-Tenzor Tμν gleix Null gezetst vird. Damit entfällt di Notwendigkeit, den Ricci Tenzor an den divergentsfreien Tenzor Tμν antsupassen unt inn Gleixung (20) imm Kapitel XXXI Gekrümmte Raumtseit kann di Kosmologicen Konstante Λ durx eine Konstante Λ*=Λ-½R erzetst verden.

?
In Analogi tsu Gleixung (18) zetst man an für das Linienelement
(55)


(56)


Inn dizem sfäricen Koordinatenzüstem ist di Rexnung veniger umctändlix als inn den Züstemen, di Schwarzschild inn zeiner banbrexxenden Arbeit benutste.

Aus dem Anzats (56) folgt

Mit Gleiung (0/6) erhält man cpetsiell

di Christoffelzümbole Γμνα unt Γμαα



Mit Γ001 unt Γ100 vird R00 berexnet

unt dize Komponente des Ricci Tenzors

vird mit Λ*g00 gleixgezetst.

Di einfaxxe Differentsialgleixung für f(r) hat di allgemeinen Lözung

Das Ergebnis lässt fercidene de-Sitter-Velten tsu. Di einfaxxste Lözung erhält man mit a=0, b=1 unt einem pozitiven Λ*. Dan kann Λ*=R-2 gezetst verden

(62)



Für r=R ist das Linienelement zingulär, es gibt aus dem Innenraum mit r<R keine Geodäte hinaus, di de-Sitter-Velt hat einen kosmologicen Horitsont.



Con imm axttsenten Jarhundert gab es Überlegungen, op es Cterne mit zo groser Masse gibt, dass Lichtteilxen fon dort nixt entveixen können. Di Zingularität inn der Komponente grr der Schwarzschild Metrik fürt nun tsu einem 'Ereignishoritsont', einer undurxdringlixxen Kugeloberfläxxe mit dem Schwarzschildradius um den Mittelpunkt einer Masse. Lixt, das fon dizem Ereignishoritsont ausgeht, erfärt nax Gleixung (47) eine Denung der Vellenlänge ins Unendlixxe unt di Frekvents vird tsu Null. Damit kann aux kein Lixt aus dem Inneren durx den Ereignishoritsont nax ausen gelangen, unt venn kein Lixt dort einen Veg hinaus findet, gilt dis aux für jede andere Form fon Masse oder Energi. Mitte des forigen Jarhunderts vurde der Kollaps 'ausgebrannter' Cterne teoretic unterzuxt unt es entctand di Forctellung eines kugelförmigen Raumgebites, inn dem zix di tsentrale Masse des kollabirten Cterns inn einem unbekannten füzikalicen Tsuctand kontsentrirt. Clislix liferte di Kerr-Metric ein ancaulixxes Modell eines rotirenden Himmelskörpers mit Ereignishoritsont, das bald darauf als Cvartses Loxx (Black Hole) tsu allgemeiner Bekanntheit kam.

Di auf engstem Raum kontsentrirte Masse ferurzaxxt eine Raumkrümmung, durx di der Radius des Cvartsen Loxxs um den Faktor 2,6 fergrösert erceint. Zo entcteht der 'Catten' des Cvartsen Loxxs unt rund um ein Cvartses Loxx gibt es eine inn zix geclossene Geodäte, auf der Lixt das Cvartse Loxx umkreizt. Zetst man inn Gleixung (39b) u konstant,
zo erhält man einen zogenannten Fotonenring.
(63)

Zeit dem Ende des letsten Jarhunderts vurden inn der Milxstrase mer als fünftsig Cvartse Löxxer entdekkt mit Massen tsviccen drei unt 4,3 Millionen Zonnemassen (zihe Kapitel XXXIII Cterne der Milxctrase).

Venn für ein Cvartses Loxx dizelbe Betsihung tsviccen Radius R unt Volumen V gilt vi für eine Kugel inn der euklidicen Geometri, dan gibt es eine eindeutige Betsihung tsviccen der Masse M eines Cvartsens Loxxs, dem Radius R unt zeiner mittleren Dixte ρ.



(65)




(66)




(67)


Da aus einem Cvartsen Loxx keine Informatsionen nax auserhalb dringen können, kann über di Ferhältnisse innerhalb eines Cvartsen Loxxs nur cpekulirt verden. Am besten passt di de-Sitter-Metrik, di vi das Innere eines Cvartsen Loxxs einen undurxdringlixxen Horitsont hat. Inn Gleixung (61) ist dan R der Schwarzschildradius, der nach den Gleixungen (64) bis (66) valveize durx di Masse M oder di mittlere Dixte ρ erzetst verden kann.



A